| 4차원 시공간이란?
민코프스키 4차원 시공간(Klein-Minkowski four-dimensional spacetime)은 3차원 공간과 1차원 시간의 4차원 공간을 통합한 개념으로, 독일의 수학자 헤르만 민코프스키가 1908년에 특수 상대성 이론을 설명하기 위해 도입하여 공간과 시간을 표현하는 수학적 모델이다.
민코프스키 4차원 시공간은 좌표계 (x, y, z, ct)를 사용하여 표현되고 여기서 x, y, z는 3차원 공간의 좌표이고, ct는 시간 좌표를 거리로 바꾼 차원이고, c는 빛의 속도이다.
민코프스키 4차원 시공간에서 시간은 공간과 동등하게 취급된다. 즉, 공간과 시간은 서로 분리될 수 없는 하나의 통합체로써 특수 상대성 이론의 여러 가지 현상들이 설명될 수 있다.
또한 빛은 모든 관찰자에게 동일한 속도로 움직이는데 이는 빛의 속도가 시공간의 한계를 나타낸다는 것을 의미한다. 민코프스키 4차원 시공간에서는 시간이 상대적이며 속도에 따라 시간이 느리게 흐르거나 빠르게 흐를 수 있다.
|역사적 배경
아인슈타인은 1905년에 특수상대성 이론을 발표하였다. 이 이론에서는 물체의 상대적 운동과 동시에 빛의 속도가 모든 관찰자에게 일정하다고 주장하였는데, 이것은 공간과 시간의 관점을 바꾸었으며, 민코프스키의 아이디어에 영감을 주었다.
민코프스키는 아인슈타인의 아이디어를 더 발전시키고 수학적으로 형식화하기 위해 1907년에 “Raum und Zeit” (공간과 시간)이라는 강의에서 “사건 공간(event space)”라는 개념을 도입하고, 사건을 공간 좌표와 시간의 조합으로 표현하다.
1908년에 민코프스키는 사건 공간을 좌표 공간(x, y, z)과 시간(t)을 결합하여 사건을 4차원 벡터로 나타내는 민코프스키 4차원 시공간의 개념을 정립하였다. 이것은 시간과 공간을 하나의 통합된 개념으로 다루는 혁신적인 아이디어가 되었다.
1915년에 알베르트 아인슈타인은 일반상대성 이론을 발표하였고, 이 이론에서 중력은 시간과 공간의 곡률로 설명되며, 민코프스키 4차원 시공간은 평평한(flat) 시공간으로부터 중력의 곡률을 일반화한 모델로 쓰이게 되었다.
민코프스키 사차원 시공간은 상대성 이론의 수학적 표현을 위해 필수적인 개념으로 사용되며, 이론의 발전과 실험 결과와 함께 현대 물리학의 중요한 기반을 제공하고 있다. 이 모델은 우리의 우주와 시간에 대한 이해를 혁신적으로 바꾸었으며, 다양한 물리학 분야에서 사용되는 중요한 도구이다
|4차원 시공간 이론
피사의 사탑을 두 사람 A, B 가 서로 다른 위치에서 보고 있다고 가정하자. 아래 그림은 A, B 가 보는 것을 좌표계로 표시한 것이다. A, B가 바라보는 빌딩의 높이와 너비는 다르게 보이지만 실제 탑의 높이는 같다.
A, B는 같은 피사의 사탑을 보고 있지만 자신만의 기준을 가지고 있어서 서로 다른 모습으로 보이는 것이다. 즉 공간에서는 관찰자의 기준에 따라 보이는 모습이 달라질 수 있다.
또한 상대성 이론에 의하면 시간도 절대적인 것이 아니라 관찰자에 따라서 모두 다르게 흐르므로 공간과 시간은 서로 얽혀 있고 분리할 수 없으며 시간과 공간의 기준점이 달라서 관찰자에 따라 다르게 보는 것이다.
여기서 민코프스키는 3원 공간과 시간 차원을 융합시켜 4차원 시공간 개념을 도입하였다. 그런데 삼차원 좌표계에서 사용되는 x,y,z 는 모두 미터 단위로 시간단위 초(second)와 다르기 때문에 민코프스키는 시간 t에 광속 c 를 하여 미터 단위의 차원으로 만들었ek.
이것은 가상의 차원이라는 의미에서 i 를 붙여 (x,y,z,ict)라는 좌표계를 사용하였다. 이것을 민코프스키 4차원 시공간이라고 부른다.
우리는 3차원에서 살고 있기 때문에 4차원 시공간을 나타낼 수 없다. 그래서 (x,y,z,ict)중 y,z는 변하지 않는다고 가정하고 (x,ict) 좌표계를, (x,y,z,ict)중 x,z는 변하지 않는다고 가정하고 (y,ict) 좌표계를 표시하면 아래 그림과 같다.
민코프스키 시공간에서 사건은 공간 좌표(x, y, z)와 시간(t)의 조합으로 표현된다. 이것은 4차원 벡터 (x, y, z, t)로 나타낼 수 있다. 따라서 모든 사건은 이러한 4차원 벡터로 나타낼 수 있다.
예를 들어, 시공간에서 어떤 점을 기준으로 관찰자가 보는 앞에서 x 방향으로 자동차가 일정한 속력으로 달리고 있다. 여초 후 자동차는 신호등을 지나간다. 이때 자동차가 신호등을 지나가는 사건(event, 시간과 공간으로 정의되는 지점)을 좌표계로 나타내 보자.
자동차는 일정한 속력으로 이동하므로 시간이 지남에 따라 x 값은 커지고, 이동거리는 기울어진 직선의로 표시되고(파란 선분) 신호등은 정지해 있으므로 위치는 일정하고 시간만 증가하는 아래 좌표계[그림 1] 처럼 나타낼 수 있다. 이 때 시공간의 높이에서 시공간의 변화를 나타내는 선을 세계선(삘긴 선)이라 한다.
이번에는 자동차에 탄 사람을 기준으로 생각하자. 자동차에 타고 있는 사람은 정지해 있는 것이므로 이동 거리는 없고 그림에서 처럼 시간만 증가한다. 또한 그 관찰자에게는 신호등이 일정한 속력으로 접근해 오는 것이므로 그림과 같이 기울어진 직선(파란 선)으로 표시되어 만나게 된다.[그림 2]
그런데 위의 좌표계에서 ct와 ct’는 자동차가 신호등을 만나는 사건이 일어나는 시간으로 [그림 1]의 관찰자와 [그림 2]의 자동차에 탄 사람의 시공간 기준이 다르므로 같은 시간이 아니다. 그렇다면 무엇이 같을까? 두 좌표계에서 같아야 하는 것은 기준점에서 신호등을 만날 때 까지 자동차가 이동한 거리이다.(파란 선)
이 때, 그 거리(파 란선의 길이)는 공간에서 원점과 점(x,y,z) 사이의 거리를 구하는 식 에서 추론 할 수 있는 것처럼 아래의 식으로 나타낼 수 있다.
이것을 두 사건 간의 고유한 사건 사이 간격(invariant spacetime interval)이라 하고, 이 간격은 서로 다른 관찰자들 사이에서도 불변하다.
민코프스키 시공간에서 사건 간의 관계는 로렌츠 변환을 통해 설명되는데, 로렌츠 변환은 서로 다른 관찰자들이 같은 사건을 서로 다른 방식으로 관찰하는 데 사용된다.
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또한 민코프스키 시공간은 플랫한(flat) 시공간으로 간주되지만 아인슈타인의 일반상대성 이론에서는 중력의 영향을 고려하기 위해 이 시공간이 곡률된(curved) 시공간으로 일반화되며 중력을 기하학적으로 설명한다.