차원이란 무엇인가 ? 우리는 일상의 언어에서 차원이라는 단어를 자주 사용하게 된다. 차원이란 단어는 상황에 따라 의미와 해석이 달라지며 한 가지로 정해져 있는 의미는 특별히 없다. 그래서 이 글에서는 수학과 과학에서 사용되는 차원에 관하여 알아보고자 한다.
차원이라는 단어의 정의는 추상적인 개념으로 쉬운 것 같지만 결코 쉽지 만은 않다. 복잡한 수식이나 어려운 수학적 개념은 제외하고 물리적 개념에 무게 중심을 두고 알아보기로 하자.
|차원이란 무엇인가?
일반적으로 우리가 생각하는 차원(Dimension)은 공간의 성질(주로 위치)을 나타내는 데 필요한 독립적으로 움직일 수 있는 방향의 개수를 의미한다. 예를 들면, 직각 좌표계(cartesian coordinate system)에서는 공간에 있는 어떤 물체의 위치를 나타내기 위해서 사용하는 방향의 개수는 최소한 가로, 세로, 높이에 해당하는 x축, y축, z축 세 개 이므로 공간은 3 차원이라고 하는 것이다.
또한 원통 좌표계(Cylindrical Coordinate System)는 3차원 공간에서 물체의 위치를 나타내기 위하여 원점으로부터 거리, 방향, 높이에 해당하는 r, ɸ, z 세 개 차원으로 나타낸다.
그리고 구(면) 좌표계(Spherical coordinate system)는 3차원 공간에서 물체의 위치를 나타내기 위하여 원점으로부터 거리, 경도(극각), 위도(방위각)에 해당하는 r, θ, ɸ 세 개의 차원으로 나타난다.
이와 같이 차원의 정의는 무엇을 기준으로 삼을 것 인가에 따라 다르게 표현되며 공간에서 물체의 위치를 필요에 따라 선택해서 사용할 수 있다.
조금 더 확장해서 생각해 하면, 차원은 물체의 속성을 표현할 수 있는 개념이므로 무수히 많은 차원을 만들어낼 수도 있다. 예를 들어, 속도라는 것은 이동한 거리를 시간으로 나누는 것이므로, 길이를 나타내는 차원을 시간을 나타내는 차원으로 나누어 표현한 이 차원의 단위다.
즉 속도라는 것은 물체의 빠르기를 길이 자원과 시간 차원 2개 를 이용하여 관찰한 것일 뿐이다. 따라서 4차원 시공간이란 것은 시공간을 네 개의 차원을 이용하여 바라보고자 하는 개념인 것이다.
최근 우주의 모든 물리 현상을 하나의 이론으로 설명하기 위해서 M 이론(M theory)이라는 것이 연구되고 있는데, 이 이론에 따르면 이우정은 11 차원의 세계라는 것이다. 이 의미는 우주를 11 개의 차원을 이용해서 설명한다는 것이다.
|시공간의 차원과 공간의 차원
시공간의 차원과 공간의 차원은 물리학에서 중요한 개념이고 이들 간에는 차이점이 있다.
시공간의 차원
시공간은 시간과 공간을 결합한 4차원 개념으로, 우리가 살고 있는 우주를 설명하는 데 사용되고 이것은 공간의 3차원(x, y, z)에 시간(t)을 추가하여 구성된다.
시공간은 시간과 공간이 서로 연결되어 있으며 이는 상대성 이론에서 다루어지며, 시공간은 물체가 어떻게 운동하고 상대적으로 어떤 일이 일어나는지를 설명하는 데 사용된다.
공간의 차원
공간의 차원은 일반적으로 우리가 생활하는 3차원 공간을 의미하고 이것은 길이, 너비 및 높이로 정의되며 물체의 위치를 나타내는 데 사용된다.
공간의 차원은 오로지 공간적인 위치를 설명하며 시간을 고려하지 않는다. 공간의 차원은 일상적인 물리학 및 수학에서 사용되며 우리 주변의 세계에서 일어나는 물체의 운동과 상호작용을 설명한다.
|차원의 종류
0 차원 (One Dimension)
0 차원은 가장 기본적인 차원으로, 매우 추상적인 개념이다. 0 차원은 차원의 시작점이고 길이, 너비, 높이 또는 시간과 같은 차원적 속성이 전혀 없다. 따라서 실제 세계에서는 존재할 수 없지만 단지 점을 이용하여 시각화 한 것이다.
0 차원은 하나의 점을 나타내는데 이 점은 어떤 크기나 방향을 가지지 않고 단지 위치 만을 나타낸다.
물리학 및 수학에서 0차원은 차원의 출발점이며 0 차원에 다른 차원의 속성(길이, 너비, 높이, 시간)을 추가하여 1 차원, 2 차원, 3 차원, 4 차원과 같은 높은 차원을 나타내는 것이다.
1차원 (One Dimension)
1차원은 하나의 선으로 나타낼 수 있다. 0 차원의 점을 양쪽 방향으로 움직이면 선이 되어 1차원을 만든다. 이 선은 길이 만을 가지고 있으며 너비, 높이가 없다.
1차원은 양방향으로 확장될 수 있으며, 그 길이가 무한하거나 유한할 수 있으며 선분의 길이, 벡터의 크기, 물체의 위치와 이동 경로 등을 설명하는 데 쓰인다.
실제 세계에서는 1차원을 시간의 흐름으로 생각할 수 있는데 왜냐하면 시간은 한 방향으로 계속 흐르며, 크기만 가지고 있고 다른 차원의 속성(너비, 높이)을 가지지 않기 때문이다.
2차원 (Two Dimension)
2차원은 평면을 기반으로 설명된다. 1차원인 선을 좌우로 이동시킴으로써 2차원을 얻을 수 있다. 이 평면은 길이와 너비를 가지고 2차원은 두 개의 차원의 축을 가지며, 일반적으로 x-축과 y-축으로 나타낸다.
2차원을 설명할 때, 일반적으로 직교 좌표 시스템이 사용되는데 이 시스템은 (x, y)와 같은 좌표를 사용하여 점이나 물체의 위치를 나타낸다.
또한 2차원 평면은 넓이를 가지며 넓이는 길이와 너비를 곱하여 계산하고 넓이, 도면, 지도, 그래프 등을 설명할 때 사용된다.
3차원(Three Dimension)
3차원은 세 가지 차원을 갖는다. 이 차원의 면 을 높이 방향으로 움직임으로써 3차원이 되고 길이(Length), 너비(Width), 그리고 높이(Height)를 가지며 이러한 세 가지 요소를 조합하여 공간 내의 점, 물체 또는 위치를 설명한다.
3차원 공간은 일반적으로 직교 좌표 시스템을 사용하여 나타내는데 보통 (x, y, z)와 같은 좌표를 사용하여 위치를 나타낸다.
3차원 공간은 부피 또는 체적(volume)를 가지며 부피는 길이, 너비, 높이를 모두 곱하여 계산되고 실제 공간, 건물, 자동차, 물체, 컴퓨터 그래픽스, 3D 모델링 등은 모두 3차원 공간에서 설명된다.
3차원은 우리가 실제로 살고 있는 공간을 의미하며 여기에 시간 차원을 추가하면 4차원으로 발전한다.
4차원 (Four Dimension)
4차원은 3차원 공간에 시간(Time) 차원을 추가한 것이다. 이것은 공간뿐만 아니라 시간에 대한 정보도 포함하는 차원이다.
4차원은 주로 물리학과 수학에서 이론적으로 다루어지며, 시공간(Spacetime)이라고도 불리는데 이는 아인슈타인의 상대성 이론에서 중요한 역할을 한다.
일반 상대성 이론에 따르면 우주는 4차원 시공간으로 표현된다. 질량이나 중력과 같은 물리적 현상은 이러한 4차원 시공간에서 곡률을 일으킨다.
4차원은 시간 여행과 관련된 논의에서 주로 등장하고 이론적으로 시간 여행을 다루기 위해 4차원의 시공간을 사용한다.
일상에서는 우리가 4차원을 경험하지만, 이를 직접 시각화하거나 이해하기는 어렵다. 우리는 4차원 시공간에서 살고 있지만 시간 차원이 한쪽 방향으로만 움직이기 때문에 과거로 갈 수 없다.
|각 차원의 관계
1차원의 세계는 선의 세계이므로 양쪽 직선 방향으로만 움직일 수 있고 좌우로 움직이는 것이 불가능한 세계이다. 1차원 세계에서 살고 있는 생명체는 넓이를 느끼지 못하로, 만일 1차원 생명체 앞에 공이 존재해 하여도 완벽한 모양의 공을 보거나 느낄 수 없다.
단지 1차원 생명체는 그 공을 점이나 점의 형태로 밖에는 볼 수가 없을 것이다. 이것은 하위 차원의 생명체는 상위 차원의 물체를 하위 차원 속성으로만 관찰할 수 있다는 의미가 된다.
만일 2차원 세계에 공 이 나타나면 2차원 생명체는 공을 선분 형태로 밖에는 볼 수 없다, 즉 공을 2 차원의 속성인 점, 선, 면으로 만 관찰하기 때문에 선분으로 인식한다는 것이다.
마찬가지로 3차원 세계에 4차원의 물체가 나타나는 경우 3차원 생명체는 그 물체가 갑자기 나타났다가 사라지는 것으로 보일 것이다. 왜냐하면 3차원생명체는 4차원의 속성인 시간을 느끼지 못하기 때문이다.
이와 같이 하위 차원에서는 상위 차원의 물체를 온전한 모습으로 볼 수 없고 단지 일부 만을 볼 수 있고 인식할 수 있게 된다.
사람은 3차원 시공간에 살고 있기 때문에 4차원의 속성인 시간을 느끼기는 하지만, 시간은 한쪽 방향으로만 움직임으로 과거와 현재 그리고 미래를 자유롭게 움직일 수 없는 것이다. 따라서 4차원 속성인 시간을 통제할 수 있는 생명체가 3차원 공간에 나타나면 현재 시간에만 그 모습을 온전히 볼 수 있고 순간적으로 눈앞에서 사라질 것이다.
그러므로 실제로 그런 일 이 생긴다면 4차원 생명체에게는 일상적인 것이지만, 3차원 생명체인 사람에게는 신비스러운 현상으로 비추어지고 이해할 수 없는 미스터리로 남게 된다.
만일 상위 차원의 존재가 하위 차원의 존재에게 영향을 끼친다면 하위 차원의 존재에게는 어떠한 일 이 일어날까 상상해보자. 2차원의 존재가 있다고 가정하자. 그런데 3차원의 존재가 나타나면 2차원 존재에게는 충격적이며 한순간에 갑자기 나타나는 모습을 보게 되고, 2차원 존재에 대한 모든 정보를 알고 있기 때문에 3차원 존재는 신비의 대상이 될 수밖에 없다.
|4차원 하이퍼 큐브
하이퍼큐브(Hypercube)는 데이터의 다차원 공간에서 데이터 포인트를 연결하는 그래프 구조를 나타낸다. 이는 다차원 데이터를 시각화하고 분석하는 데 사용된다.
하이퍼 큐브는 데이터 포인트를 나타내는 점(노드)과 데이터 포인트 간의 관계를 나타내는 엣지(선)로 이루어졌고. 엣지는 데이터 포인트 간의 상호작용을 나타낸다.
사차원 하이퍼 큐브(4D Hypercube), 또는 더 정확하게는 “테서랙트(Tesseract)”라고도 불리는 것은 수학적으로 다차원 공간에서의 구조를 나타내는 형태이다.
4차원 하이퍼 큐브는 4차원 공간에서 존재하는 구조이고 이것은 평면(2D), 공간(3D) 및 시간(4D)을 포함한 더 높은 차원의 공간에서 존재하는 객체를 나타낼 수 있다.
이것은 앞의 왼쪽에서 뒤의 오른쪽으로 그리고 위에서 아래로 이등분하면서 판이 단순하게 움직이는 4차원 정육면체의 3차원 투영 이미지다.
그 형태는 8개의 정육면체(큐브)가 16개의 교차점으로 연결된 형태로 구성되는데, 이는 2차원 큐브의 3차원 확장으로 생각할 수 있으며, 각 정육면체는 다른 정육면체와 변을 공유한다.
4차원 시공간에서 일어날 수 있는 일
4차원 시공간은 과학적으로 입증되거나 현실에서 관찰되지 않는 가설적인 영역이지만 다음과 같은 것들을 예상해볼 수 있다.
시간 여행: 가장 유명한 가설 중 하나는 시간 여행이다. 4차원 시공간에서 시간을 통제하거나 이동하는 능력을 갖는다면, 과거 또는 미래로 이동할 수 있을 것이다.
다차원 현실: 4차원 이상의 시공간에서 다른 현실을 경험할 수 있을 것이다. 우주는 더차원으로 이루어져 있다고 생각되기 때문에 복수의 시공간 현실을 탐험하거나 다른 현실로 이동할 수 있을 것이다.
차원 간 이동: 4차원 시공간에서 다른 차원으로 이동하는 능력을 상상할 수 있을 것이다. 예를 들어, 다른 차원에 존재하는 공간으로 이동하거나 그 차원의 물리 법칙을 변경할 수 있을 것이다.
실체의 변화: 4차원 시공간에서 생명체의 형태나 본질을 변화시키는 능력을 가질 수 있을 것이다. 이것은 분자 구조 변경, 물리적 특성 변화를 의미한다.
이러한 가설적인 상황이어서 현재로서는 4차원 시공간에서 이러한 일들이 일어날 수 있는 과학적 근거나 현실적인 관측은 없다.